线面相交方程 线面夹角公式图解

公理1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在这个平面内。

公理2：不在一条直线上的三点，只有一个平面。

公理3：如果两个不重叠的平面有一个公共点，那么它们只有一条直线通过这个点。

公理4：两条平行于同一条直线的直线相互平行。

先求平面法向量，再求直线方向量，最后求两向量角的余弦。

与曲面的区别：

直观地说，曲面是空间有两个自由点的轨迹，曲面可用方程Z=f(x,y)或F(x,y,z)=0也可以用参数方程x来表示=j(u,v),y=ψ(u,v),z=c(u,v)表示。在最简单的曲面中，除平面外，还有旋转面和二次曲面，包括直纹面、可展曲面、极小曲面、多面曲面、单面曲面等。

平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础：

如果一条直线的两个点在一个平面上，那么这条直线上的所有点都在这个平面上。如果两个平面上有一个公共点，那么它们还有其他公共点。这些公共点的集合是一条直线。通过三个点，它们不在一条直线上，只有一个平面。

推论一:经过一条直线和一条直线，只有一个平面。

推论二:经过两条相交直线，只有一个平面。

推论三:通过两条平行直线，只有一个平面。

平面的基本性质是教科书中的三个公理及其推论，是研究空间图形性质的理论基础，是三维几何推理论证的理论基础。

1.如果要求线到面的距离，首先线平行于面，在直线上随便取一点，求这个到面的距离。假设表面的方程是Ax By Cz D=0、直线上的点是(x0、y0、z0)，

那么距离就是│Ax0 By0 Cz0 D│/(A^2 B^2 C^2)^(1/2)

2.如果线不与面相交，可以判断为平行。如果平行，线上任何点与平面的距离都是相等的。如果相交，交点与平面的距离为0

实例：

平面：在空间中，距离相等的两点的轨迹称为平面。

直线：同时属于两个平面点的轨迹。

或：在平面上，两点之间的距离相等。平面：根据定义，设动点为M（x，y，z），两点分别为（a，b，c）和（d，e，f）

则[(x-a)^2 (y-b)^2 (z-c)^2]^1/2=[(x-d)^2 (y-e)^2 (z-f)^2]^1/2

x^2-2ax y^2-2by z^2-2cz (a^2 b^2 c^2)=x^2-2dx y^2-2ey z^2-2fz (d^2 e^2 f^2)

(2d-2a)x (2e-2b)y (2f-2c)z (a^2-d^2 b^2-e^2 c^2-f^2)=0

形式为ax by cz d=0

直线：方程组可根据定义列出：

ax by cz d=0

ex fy gz h=0

其形式如下：

x=jz k

y=lz m（1）三点式

同时满足三点

ax0 by0 cz0 d=0

ax1 by1 cz1 d=0

ax2 by2 cz2 d=0

可得出a-b-c-d之间的关系，然后d取特殊值，解方程。

点线间距离公式推导

（2）点线式

可以在网上找到两点，转换成三点式。

(3)双线(无异面)

可以在两条线上找到三点，转化为三点式。得到:ax by cz d=0

（4）线斜式

斜率：该平面与xoy平面二面角的正切。

求法：将该平面设置为ax by cz d=0,xOy是z=0

即k=c/(a^2 b^2 c^而且它通过y=kx b,z=lz a

根据判断，可以得到a-b-c-d之间的关系。然后赋予d特殊值。

（5）两点式

用待定系数法找出k，l,m,n关系，然后取特殊值。直线:截取直线l上的两点A（l,n,0）和B（k l,m n,1)方向量为：AB=（k,m,1）

平面：取平面内三点：A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d b a)/c)C(0,2,-(d 2b)/c)

AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a b)/c)

设向量n：(x,y,c)对于平面的法向量，则

2y-2b=0 x y-(a b)=0

->y=b x=a

则n=(a,b,c)是平面的法向量。

直线平面关系

直线和直线：

x=k1k1设置直线方程z l1,y=m1z n1和x=k2z l2,y=m2z n2

相交:由两条直线组成的方程组有实数解

平行:k1/k2=m1/m2，l1/l2≠n1/n2

异面:不相交或不平行:不平行

垂直：k1k2 m1m2=-1

直线和平面

x设置直线方程=kz b,y=lz a,cx是平面方程 dy ez f=0,p=k l e,q=a b f

属于：p=0,q=0

平行：p=0,q≠0

相交：p≠0

垂直：k/c=b/d=e

平面和平面

Ax设置平面方程 by cz d=0和ex fy gz h=0，p=a/e,q=b/f,r=c/g,s=d/h

相交：不平行

平行：p=q=r≠s

垂直：ae bf cg=0