向量和平面相交的点 平面几何中的向量方法名师讲解

空间直线与平面的位置关系：

1、线在面内：线与面有无数的交点。

2、线外：平行，线与面无交点。

3、交叉点：线与面又只有一个交叉点。

两个向量，一个是直线的方向量，另一个是平面的法向量。如果这两个向量的数量积等于0，当直线上的已知点在平面上时，直线在平面上。

当已知点不在平面上时，直线与平面平行。当两个向量的数量积不等于0时，直线与平面相交，夹角的正弦值为两个向量夹角的余弦值的绝对值π/2。

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1、平行性：如果平面外的一条直线与该平面内的一条直线平行，则该直线与该平面平行。

2、垂直：如果一条直线垂直于一个平面中的两条相交直线，那么这条直线就垂直于这个平面。

直线是几何的基本概念，在不同的几何系统中有不同的描述。在日常生活中，紧绷的绳子、竹竿和人行横道都给人一种直线的形象，而数学中的直线两端都没有端点，可以无限延伸到两端，长度无法测量。

从问题中得到两个平面的法向量：

S1(1，1，-1)， S2（2，-1，1）

两个平面交叉的直线垂直于这两个法向量，因此交叉直线的方向向量：

S=S1xs2=(1，1，-1)x(2，-1，1)=(2，-3，-3)

然后可以得到相交直线的方程，即使是两个平面方程的z=1，也可以得到相交点(1、1、1)，

因此，直线方程是(x-1)/-2=(y-1)/-3=(z-1)/-3

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公理

高一下册数学向量

相关公理：两条平行于同一条直线的直线相互平行。

相关定理：如果一个角的两侧与另一个角的两侧平行且方向相同，则两个角相等。

推论:如果两条相交直线与另外两条相交直线平行，则两条直线形成的锐角(或直角)相等。

异面直线是两条不同于任何平面的直线，没有公共点。

点、直线和平面可以通过向量来表示。点可以用位置向量表示，直线可以用方向量加一点直线上的位置向量表示，平面可以用法向量加一点平面上的位置向量表示。

1、点的向量表示

在三维空间中，点可以用位置向量表示。以原点O为参考点，如果有点P(x,y,z)，那么点P的位置向量可以表示为OP= xi yj z*k，其中i、j、k是坐标轴的单位向量。

2、直线向量表示

直线可以用方向量加一点直线上的位置向量来表示。如果直线的方向量为a，直线上的一点P(x0、y0、z0)，则直线L的向量为r= P t*a，t是参数，表示直线上的任何一点。

3、平面的向量表示

平面可以通过在平面上添加一点位置向量来表示。设置平面的法向量为n，如果平面上有一点P（x0，y0，z0），则平面的向量表示n·(r- P)= 0，其中r是平面上的任何一点。

空间中点、直线和平面的向量表示

1、几何关系点、直线和平面

点、直线和平面在空间中有一定的几何关系。一条直线可以通过两个不重叠的点来确定，而平面可以通过三个不重叠的点来确定。直线和平面可以交叉，一点或一条直线。

2、向量运算和空间几何

向量运算在空间几何中起着重要的作用。向量可以用于加法、减法、数量乘法和点乘法。利用向量运算，可以解决点到直线、点到平面的距离，判断点是在直线还是平面上。

3、应用领域

空间中点、直线和平面的向量表示广泛应用于许多应用领域。例如，在计算机图形学中，点、直线和平面的向量表示用于渲染三维物体和进行空间变换。在工程学中，点、直线和平面的向量表示用于建模和分析空间结构。