线面相交题 线与面相交定义

线面相交题的定义

线面相交题是一类几何问题，通常是求由线段和平面所构成的几何体之间的关系。该问题通常涉及到寻找垂足、高、交点等关键点的位置和性质，是初中数学中比较复杂的内容之一。

线面相交题的解题技巧

解决线面相交题需要掌握以下技巧：

寻找垂线和垂足。

利用幅角相等、相似三角形、全等三角形等性质求解。

利用余弦定理和正弦定理求解。

结合三维空间直观想象，利用向量、平面方程等方法求解。

线面相交题的实例分析

以一道典型的线面相交题为例，如下图：

解题步骤如下：

求线段与平面的交点。

因为已知线段端点坐标分别为P(1, 2, -1)和Q(4, -1, 3)，可用两点式求出所在直线的参数方程：

x=1+3t,y=2-t,z=-1+4t

代入平面方程求解可得交点坐标为A(7, -2, 9)。

求线段与平面所在三角形的面积。

已知三角形的三个顶点分别为P、Q、A，可利用向量叉积求出三角形的面积：

S=1/2|PA×QA|=1/2|(6, -4, 10)×(-3, -3, 4)=(-2, 42, 12)|

点线面作图题

所以三角形的面积为|-2, 42, 12|=22.

判断线段是否与平面相交。

由于已知线段的两个端点均在平面上方，因此线段必然与平面相交。

求线段与平面的夹角。

利用向量夹角公式可得：

cosθ=PA·PQ/|PA||PQ|

|PA|=√(6^2+(-4)^2+10^2)=√188

|PQ|=√3^2+(-3)^2+4^2)=√34

代入可得：

cosθ=(6×3+(-4)×(-3)+10×4)/(√188×√34)=11/√313

由此可得夹角θ的大小为：θ≈8.5°。

线面相交题是初中数学中的较难内容，要求对几何形体和向量的相关知识有一定的掌握。解决该类问题需要注重推理能力的培养和几何想象的创造，同时还需要掌握解几何题的基本技巧和方法。